MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS 2º INGENIERO GEOLOGO


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1 1.- La chapa rectangular ABCD de la Figura 1 está anclada en el punto A y colgada de la cuerda SC. Determinar la tensión de la cuerda y la fuerza en el punto de anclaje A cuando la chapa soporta una carga vertical de 30 N en el punto B, además de su propio peso de 0 N..- Determinar para la percha de la Figura las reacciones de la pared en los puntos A y B y la tensión del cable AC cuando el brazo horizontal soporta una fuerza de 50 kn en su mitad. 3.- El bote de la Figura 3 está soportado por dos perchas iguales ABC. Determinar las reacciones en el eje A y en la guía B cuando cada una de las perchas soporta una carga vertical de 3.84 kn en el punto C. 4.- Para la estructura plana de la Figura 4, que está anclada en A y apoyada en B, calcular las reacciones en los puntos A y B. 5.- El río Guadalquivir tiene un ancho de 50 m en el puente del Alamillo de Sevilla. El brazo oblicuo del puente forma un ángulo de 10º con la plataforma y tiene 100 m de largo. Calcular el peso del brazo oblicuo (suponiendo que se aplica en su punto medio), para que la reacción en el extremo de Sevilla sea nula; suponer que la plataforma horizontal pesa 500 kn y que se aplican en su punto medio. Cual será la reacción en el punto de apoyo del extremo de La Cartuja. Si hay un único hilo que une el extremo del brazo oblicuo con el punto de apoyo en el extremo de Sevilla, cuál será la tensión del hilo. FIGURA 1 FIGURA FIGURA 3 FIGURA Determinar ω en N/m para la viga soportada de la figura 5, de tal forma que F=0 a 5 m del extremo de la izquierda. 1 t t ω 4 m 8 m 4 m 4 m 1

2 7.- Calcular para la viga de la figura adjunta la posición y la magnitud de los momentos máximos, tanto positivos como negativos. ω= 10kN/m 0 kn 30 kn 3 m 5 m m 4 m 8.- Un tubo de metal de 76 mm de diámetro exterior y 1.65 m de longitud debe soportar una carga compresiva de 60 kn. Si la máxima tensión permitida es de 77 MPa, calcular el espesor mínimo del tubo. Suponiendo que el módulo de Young del material es E = 9.6 GPa, calcular cuánto se acortará el tubo. 9.- Un tornillo de acero de 5 mm de diámetro y paso de rosca de.5 mm por vuelta, atraviesa un bloque de 50 mm de espesor. Calcular la tensión en el tornillo cuando se aprieta ¼ de vuelta. Si la tensión de fractura del material del tornillo es 95 Mpa, Cuál es el factor de seguridad del montaje? Suponer E = 08 GPa Una barra sólida de acero tiene sección cuadrada cuyo lado aumenta linealmente desde 0 mm en un extremo hasta 30 mm en el otro extremo, que están separados por 0.4 m. Cuál es la carga máxima que puede soportar la barra si la máxima tensión permitida es 300 MPa?. Cuánto se alargará la barra cuando se somete a dicha carga?. Tomar E = 00 GPa, 11.- Una línea sencilla de remaches de 0 mm de diámetro se utiliza para unir dos chapas, de 15 mm de espesor y 1 m de ancho, en unión sencilla. La carga máxima que va a soportar la unión será de 150 kn. Cuántos remaches serán necesarios si se quiere que la tensión de cizalla por remache no supere 0 MPa?. Si la tensión de fractura por tracción del material de las chapas es de 11 MPa, Cuál es el factor de seguridad para la fractura por tracción de las chapas por la línea de remaches?. 1.- Dos chapas de bronce, de sección 8 mm x 50 mm se fijan en ambos lados de una chapa de acero, también de 50 mm de ancho. Calcular el espesor de acero necesario para que, cuando la barra compuesta se carga con 1000 kn, la tensión del acero sea 155 MPa. Calcular la tensión que soporta el bronce y el alargamiento que sufre la barra compuesta si tiene 1 m de largo. Tomar E = 110 GPa para el bronce y E = 07 GPa para el acero Una columna de hormigón de sección cuadrada, con 3 m de altura y 380 mm de lado se refuerza con cuatro barras de acero de 5 mm de diámetro. Si la columna se carga con una fuerza axial de 600 kn, determinar las tensiones del acero y del hormigón y calcular el acortamiento total de la columna. Tomar E = 14 GPa para el hormigón y E = 07 GPa para el acero Una columna compuesta está formada por una barra de acero inoxidable colocada en el centro de un tubo de acero normal con los extremos soldados a sendas bridas, hasta completar una longitud de 600 mm. El área de la barra inoxidable es de 750 mm y la sección del tubo de acero es de 165 mm. Si un aumento de temperatura de 40 ºC provoca una extensión de la barra compuesta de 0.4 mm, determinar la carga inducida en la barra y la tensión en el tubo. Cuánto vale α del tubo si E = 07 GPa?. Datos: E = 165 GPa y α = K -1 para el acero inoxidable.

3 15.- Un puente de madera está soportado por 6 vigas cuadradas de 300 mm de alto y 00 mm de ancho. Cada viga puede considerarse como soportada en sus extremos, que se encuentran separados 4.5 m. Si la máxima tensión de flexión admisible por viga es de 5.5 MPa, calcular la máxima carga distribuida que puede soportar el puente Una viga se sección circular, con 1. m de longitud está colgada de sus dos extremos y soporta cargas concentradas de 0 y 30 kn a las distancias respectivas de 0.45 m y 0.75 m de su extremo izquierdo. Si la máxima tensión que puede soportar el material de la viga son 60 MPa, determinar el radio mínimo que ha de tener la sección de la viga. 100 mm 5 mm 5 mm 5 mm 17.- Para la sección de la figura adjunta, calcular el espesor b de la chapa inferior para que la línea neutra de flexión (según la horizontal) se encuentre, como se indica, a 40 mm del extremo inferior. Calcular el momento de inercia por flexión resultante Una viga de acero de sección Yc cuadrada con 100 mm de lado y.5 m de 40 mm b longitud se dispone en voladizo, empotrada en la pared. Si la densidad del acero es: 150 mm 3 ρ = 6900kg m, calcular las tensiones máximas de tensión y compresión en la viga debidas a su propio peso. Si el módulo de Young del acero es 10 GPa, determinar el radio de curvatura por flexión en el punto de máxima tensión Para una sección circular determinar, en función de la fuerza F(x), el valor máximo de la tensión de cizalla por flexión y su distribución a través de la sección. 10 mm 10 mm 70 mm 10 mm 100 mm 0.- Calcular, para una viga de sección en I como en la figura adjunta, con 3.65 m de longitud, cuando está soportada por sus extremos y con una carga distribuida de 8 ton, el punto x donde es mayor la tensión de cizalla debida a flexión y su posición y sobre la sección. 1.- Una viga de acero de 15 m de longitud está soportada en sus extremos y se carga uniformemente con 4 kn/m. Calcular la deformación por flexión (separación de la horizontal) y el ángulo con la horizontal a una distancia de 6 m del soporte de la izquierda. Usar I = mm 4, E= 00 GPa..- Calcular la ecuación de la viga en voladizo de longitud L cuando se deforma por flexión al aplicar una fuerza F a una distancia a de la pared (a<l). 3.- Una viga de acero está soportada en sus extremos, que distan 6 m. Se carga con fuerzas concentradas de 5 t y 9 t, que se aplican a 1.8 y 3.6 m de su extremo izquierdo, respectivamente. Determinar la posición y la magnitud de la máxima separación de la horizontal. Tomar Usar I = mm 4, E = 07 GPa. 3

4 El tensor de tensiones en el interior de un sólido viene dado por: [ σ ] = , donde las componentes tienen unidades de kpa. Calcular los vectores de tracción sobre superficies con los siguientes vectores directores (normalizar en caso de que sea necesario): u1 = 0 u = u3 = 0 u4 = El tensor de tensiones para un problema D viene dado por: [ σ ] = kpa Calcular el vector de tracción sobre rectas que forman un ángulo θ arbitrario con la horizontal. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos finales de los vectores de tracción dibuja una elipse, a medida que varía θ. Calcular los semiejes de dicha elipse. Este resultado se puede generalizar para σ arbitrario en 3D, en cuyo caso los vectores de tracción recorren un elipsoide, que se llama elipsoide de Lamé. 6.- El estado de tensiones de un sólido es de compresión puro sobre superficies perpendiculares al eje vertical z, con magnitud: σ ( z) = ρ gz. Calcular el correspondiente tensor de tensiones. Comprobar ur r que es solución de la ecuación de equilibrio estático: σ ρg z = El estado de tensiones en un cuerpo 3D es de tracción pura sobre cilindros centrados en el eje vertical. Calcular cómo ha de depender la magnitud de la tracción con el radio del cilindro para que el tensor de tensiones resultante sea solución de la ecuación de equilibrio estático con fuerzas externas (volumétricas) nulas. 8.- El estado de tensiones de un sólido en 3D es de tracción pura sobre planos perpendiculares al vector unitario: nx = cos( θ ) cos( φ) ny = cos( θ )sin( φ) nz = sin( θ ) y de magnitud σ constante. Calcular el tensor de tracciones correspondiente. 9.- El estado de deformaciones en un cuerpo D es de cizalla pura de magnitud γ sobre rectas paralelas que forman un ángulo α con la horizontal. Determinar el tensor de deformaciones correspondiente Las ecuaciones de desplazamiento para un cilindro deformado por torsión pura vienen dadas, en coordenadas cilíndricas, por (hipótesis de Coulomb): r = r θ = θ + αz z = z donde α es una constante. Razonar dichas ecuaciones y calcular el tensor de deformaciones correspondiente en el límite de pequeñas deformaciones (αz<<1 para todo z). 4

5 31.- En ausencia de fuerzas volumétricas, satisface el siguiente tensor de tensiones las ecuaciones de equilibrio estático?: y + ν( x + y ) νxy 0 [ σ] = νxy x + ν( x + y ) 0 x + ν x + y 0 0 ( ) 3.- El tensor de tensiones en un cuerpo elástico viene dado por: y z 0 [ σ ] = z 0 y 0 y σ zz r r Si existe una fuerza volumétrica f = ρ g k constante y en la dirección vertical negativa, calcular σ zz para que se cumplan las ecuaciones de equilibrio estático, con la condición de contorno σ zz = 0 en el plano z=l Suponer un campo de desplazamientos en coordenadas cartesianas dado por: x = x+ k x y = y+ k xy 1 z = z+ k xy+ y donde k es una constante pequeña. (i) Calcular el tensor de deformaciones infinitesimales (Cauchy). (ii) Existen puntos para los que el volumen local no varía? (deformación volumétrica nula), en caso afirmativo calcularlos. (iii) Calcular el tensor de tensiones correspondiente, suponiendo medio elástico homogéneo e isótropo. 0 kxy 34.- Son físicamente posibles los siguientes tensores de deformación D?: [ ε ] = kxy 0, 1/ky kxy [ ε ] =. Usar las condiciones de compatibilidad de Saint-Venant. kxy 1/kx Si la función de Airy está dada por φ( xy, ) = α x + xy + β xy + xy, determinar las constantes α y β para que sea biharmónica. β Considerar la función de Airy bidimensional: φ ( xy, ) = y, definida sobre una región 6 rectangular con el origen de coordenadas situado en el centro de una de las caras pequeñas. (i) Comprobar que φ es biharmónica. (ii) Calcular el correspondiente tensor de tensiones. (iii) Determinar las fuerzas sobre la frontera del material, dibujar aproximadamente un diagrama de fuerzas. (iv) Calcular el tensor de deformaciones y el campo de desplazamientos suponiendo y desplazamiento nulo y rotación nula en el origen de coordenadas. L L 37.- Considerar el problema elástico de la figura adjunta, que U V x representa una pared de anchura L sometida a una presión constante P en una de sus caras, en las otras caras las fuerzas son nulas. La pared puede considerarse infinita en la dirección Y negativa. (i) Establecer las condiciones de contorno para el tensor de tensiones en las caras {U,- }; {U,V} y {V,- }. Considerar la función de Airy: P φ ( xy, ) = Ay + Byx+ Cx+ Dx+ Eyx. (ii) Determinar bajo qué condiciones es biharmónica. (iii) Comprobar que con dicha función de Airy se pueden verificar todas las condiciones de contorno excepto σ yy = 0 en {U,V}. (iv) Establecer la condición de contorno equivalente, en el sentido de Saint-Venant, a σ yy = 0 en {U,V}, suponiendo que dicho segmento es pequeño. (v) Comprobar que con la función de Airy anterior se puede verificar la condición equivalente. 5

6 37.- Un tubo circular tiene radio interior a y radio exterior b. En el interior existe una presión perpendicular a la superficie de magnitud P a y en el exterior hay una presión no nula, también perpendicular a la superficie de magnitud P b. Suponiendo que el problema tiene simetría cilíndrica y que, por tanto, la función de Airy, las tensiones y las deformaciones dependen sólo de la coordenada radial r, calcular las distintas componentes del tensor de tensiones. P r = a r = b 38.- [Timoshenko] Una barra circular r [a,b], θ [0,π/], tiene desplazamiento cero en la parte inferior y está sometido a una fuerza de cizalla P en la parte superior, como se indica en la figura, mientras que las otras superficies son libres. El problema elástico se puede resolver usando una función de Airy del tipo φ( r, θ) = f( r)senθ. (i) Establecer la ecuación diferencial que debe satisfacer la función f() r. (ii) Integrar dicha ecuación para obtener: 3 f() r = Ar + B + Cr+ Drlnr r r (iii) Utilizar las condiciones de contorno τ = 0: r = a, r = b y las condiciónes: b b σr θ dr = P, σθθ dr = 0, en θ=0, a a para determinar las constantes A,B,C,D. Falta aplicar la condición de contorno en θ = π / sobre los desplazamientos, pero no preocuparse porque se puede también verificar Una presión uniforme de magnitud P es aplicada sobre la superficie del semi-espacio elástico en una región con forma de triángulo equilátero de lado a. Utilizar la solución de Boussinesq para calcular el desplazamiento vertical en el plano z=0 y en el punto A que se indica en la figura Una banda infinita de anchura b con perfil triangular como se indica en la figura actúa sobre el semi-espacio elástico. Determinar la componente vertical de la tensión σ zz en el punto B que se indica en la figura. 6

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