TEMA 3. PROGRAMACIÓN LINEAL


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1 Colegio Ntra. Sra. de Monte-Sión Departamento de Ciencias Asignatura: Matemáticas Aplicadas a las CCSS II Profesor: José Mª Almudéver Alemany TEMA 3. PROGRAMACIÓN LINEAL. Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales. 2. Programación lineal. Definiciones. Programación lineal para dos variables. Métodos de solución. o Etapas en la formulación de un programa lineal. o Método gráfico para la obtención de soluciones. o Método analítico para la obtención de soluciones. o Clases de problemas de programación lineal de dos variables. 3. Ejemplos de aplicación. 4. Ejercicios.

2 Tema 3: Programación lineal. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Consideramos conveniente revisar los conceptos relacionados con las inecuaciones lineales, ya que su uso va a ser continuado en este tema. Ya sabemos que las expresiones de la forma ax + by = c se denominan ecuaciones lineales con dos incógnitas y su representación gráfica es una recta (ver apuntes del curso pasado). Si en las ecuaciones lineales con dos incógnitas cambiamos el signo igual por uno de los cuatro signos de desigualdad (<,, >, ), obtenemos una inecuación lineal con dos incógnitas. Una inecuación lineal con dos incógnitas, es toda inecuación equivalente a una de las siguientes: ax + by + c > 0, ax + by + c 0, ax + by + c < 0, ax + by + c 0 es decir, cuando, después de reducirla, tiene dos incógnitas de grado uno. Es conocido que los valores que satisfacen la ecuación ax + by = c son los puntos situados sobre una recta. Esta recta divide al plano en dos semiplanos. Estos semiplanos van a constituir las soluciones de las inecuaciones asociadas a ax + by = c. El conjunto de soluciones de una inecuación, es decir, el semiplano de soluciones de la inecuación, se determina de la forma siguiente: Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos. Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto que no pertenezca a la recta, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no a la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra. Encuentra y representa gráficamente el conjunto de soluciones de la inecuación siguiente: x + y < 2. Solución: En la figura puede verse como la gráfica de la recta de ecuación x + y = 2 divide al plano en dos regiones. Elegimos el punto (0, 0) que no pertenece a la recta y se encuentra situado por debajo de la misma. Introduciendo las semiplano x + y < 2 Figura Ejercicio de aplicación x + y = 2 coordenadas de este punto en la inecuación x + y < 2, vemos que se satisface. Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es el semiplano situado por debajo de la recta x + y = 2.

3 Sistemas de inecuaciones lineales Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de dos o más inecuaciones que deben satisfacerse a la vez. Para su resolución se procede de la manera siguiente: Se resuelve cada inecuación por separado, es decir se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. El conjunto solución del sistema, también llamado región factible, está formado por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como ocurría con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso que exista conjunto solución puede ser acotado o no. Conviene destacar que, en el caso en el que el conjunto solución es una región acotada, sus puntos estarán encerrados por un polígono convexo. 2 Dibuja las regiones factibles de los sistemas siguientes: x 0 x 0 x 0 a) y 0 ; b) y 0 ; c) y 0 x 2y 8 2x 3y 6 x y Solución: Ejercicio de aplicación En cada uno de los casos representamos las rectas asociadas a cada inecuación. Buscamos para cada una de las inecuaciones su semiplano de soluciones y, por último, la región común a todos los semiplanos. En las representaciones gráficas que siguen puede verse la región factible o región de soluciones de cada uno de los sistemas. a) Solución acotada en polígono convexo (Figura 2) b) Solución no acotada (Figura 3) c) No posee solución (Figura 4) x + 2y = 8 2x+3y = 6 x + 2y = 8 x + y = Figura 2 Figura 3 Figura 4 2

4 2. Programación lineal. Definiciones A finales de la década de los años cuarenta se desarrolló la técnica algebraica denominada programación lineal para resolver problemas de asignación de recursos entre distintas actividades de ámbito económico. Las aplicaciones a otros tipos de problemas han sido numerosas. Veamos la formulación algebraica del problema o modelo de programación lineal, llamado también programa lineal. Se llama programa lineal a la formulación algebraica que pretende resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por ecuaciones e inecuaciones lineales. Programación lineal para dos variables. Métodos de solución Todas las situaciones que se estudian en este tema presentan dos variables, en el caso en el que los programas lineales tengan dos variables, que llamamos x e y, la formulación algebraica de los problemas de máximos y mínimos es como sigue: Maximizar f(x, y) = ax + by sujeto a: a a... a 2 m x a x a x 0, x a 2 22 y b m2 y b y 0 2 y b En los programas lineales anteriores llamamos: Variables de decisión a los términos x, y. m Minimizar f(x, y) = ax + by sujeto a: a a... a 2 m x a x a x 0, x a 2 22 y b m2 y b y 0 2 y b Restricciones a las inecuaciones lineales expresadas en las variables de decisión. Función objetivo a la función f(x,y) = ax + by, función lineal que hay que optimizar. Etapas en la formulación de un programa lineal Con objeto de simplificar la formulación de un programa lineal, es conveniente realizar el planteamiento algebraico de un enunciado a través de los pasos o etapas siguientes:. Recoger la información relativa a los elementos del problema en una tabla. 2. Determinar las variables de decisión y darles nombre: x, y. 3. Expresar analíticamente la función objetivo, función lineal de las variables de decisión x e y, que hay que optimizar. 4. Escribir las restricciones, expresadas como inecuaciones lineales de las variables de decisión. m 3

5 Método gráfico para la obtención de soluciones Para la obtención de soluciones, por el denominado método gráfico, de un programa lineal de dos variables ya formulado, realizaremos los pasos siguientes:. Hallamos la región factible a que dan lugar las restricciones. 2. Igualamos la función objetivo a cero: ax + by = 0 y representamos gráficamente la recta asociada, llamada recta de beneficio nulo. 3. Recorremos la región factible mediante rectas paralelas a la anterior, realizando un barrido de la misma. Estas rectas son de la forma ax + by = k y se llaman rectas de beneficio constante o líneas de nivel. 4. De todas esas líneas, buscar la que corresponde al valor óptimo (máximo o mínimo) de la función objetivo. En el caso de solución única, la línea de nivel que solamente toque en un punto a la región factible es la que proporciona la solución buscada del programa lineal correspondiente. Cuando el programa lineal presenta solución múltiple, la recta de nivel puede tocar en todos los puntos de un segmento o lado de la región factible. Método analítico para la obtención de soluciones El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un programa lineal con dos variables. En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento o lado que determinan. En el caso de que la región factible es no acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región. La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos. Clases de problemas de programación lineal de dos variables Vamos a considerar las distintas situaciones que se suelen presentar en los programas lineales para dos variables. Describimos, en primer lugar, las clases de programas que nos vamos a encontrar y posteriormente se ejemplifican cada uno de los casos en los ejercicios de aplicación desarrollados. Los programas lineales para dos variables pueden clasificarse, atendiendo al tipo de solución que presentan, en los casos siguientes: Factibles con solución única, cuando presentan un único punto óptimo. Factibles con solución múltiple, si presentan más de una solución óptima. En estos casos, las soluciones suelen ser todos los puntos de un segmento o lado, es decir, los puntos comprendidos entre dos vértices de la región factible. Factible no acotada, cuando no existe límite para la función objetivo, es decir, la función objetivo puede hacerse tan grande como se desee en la región factible. No factible, si no existe el conjunto de soluciones. En estas situaciones, las desigualdades que describen las restricciones son inconsistentes. 4

6 3 Ejercicios de aplicación Una casa empacadora de alimentos recibe diariamente 700 kg de café de tipo C y 800 kg de café de tipo K. Hace con ellos dos mezclas. La de tipo A que consta de 2 partes de café de tipo C y de tipo K en la que gana 22 pesetas por kilo y la de tipo B que consta de una parte de tipo C y 2 del tipo K en la que gana 26 pesetas por kilo. Halla la cantidad de mezcla que la casa debe preparar de cada clase para que la ganancia sea máxima. Solución: La información puede verse resumida en la tabla siguiente: Mezcla tipo A Mezcla tipo B Recursos 2 Café tipo C (kg) Café tipo K (kg) Beneficios Producción x y El programa lineal correspondiente al enunciado es: Maximizar la función objetivo: f(x, y) = 22x + 26y sujeta a las siguientes restricciones: 2 x y x y 800. El conjunto de (2/3)x + (/3)y = 700 x 0 y 0 R 200 soluciones factibles es el de los Q puntos del interior del polígono (/3)x +(2/3)y = 800 convexo limitado por los vértices OPQR que queda sombreado en la figura 5. P Las coordenadas de los vértices son: O(0, 0), P(050, 0), Q(600, 900) y R(0, 200). O Figura 5 Los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices son: f(0, 0) = 0, f(050, 0) = 23.00, f(600, 900) = y f(0, 200) = La casa empacadora debe hacer por tanto una mezcla de 600 kg de café de tipo A y 900 kg de tipo B para que la ganancia sea la máxima posible (3.200 pesetas). 4 Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de compuestos C y C 2, elaborados con ambos piensos. El paquete de C contiene unidad de A y 5 de B, siendo su precio de 00 pesetas, y el de C 2 contiene 4 unidades e A y una de B, siendo su precio de 300 pesetas. 5

7 Qué cantidades de C y de C 2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste? Solución: La información puede verse resumida en la tabla siguiente: Compuesto C Compuesto C 2 Unidades Pienso A Pienso B Coste Producción x y El programa lineal correspondiente al enunciado es: Minimizar la función objetivo: f(x, y) = 00x + 300y sujeta a las siguientes x 4y 24 5x y 25 restricciones:. x 0 y 0 25 R El conjunto de soluciones factibles es el de los puntos x +4 y = 24 del interior de la región convexa de vértices P, Q y R Q 6 que queda sombreada en la P 5 24 figura 6. Las coordenadas de los vértices son: P(24, 0), Q(4, 5) y R(0, 25). 5x +y = 25 Figura 6 Los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices son: f(24, 0) = 2.400, f(4, 5) =.900 y f(0, 25) = La ganadería debe emplear 4 paquetes de C y 5 de C 2 para preparar su dieta con el mínimo coste de.900 pesetas. 5 Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kg es para ambos de 30 pesetas, y cuyo contenido vitamínico por kg se recoge en la siguiente tabla: A B C D P mg mg 20 mg 2 mg Q mg 3 mg 7,5 mg 0 mg Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? Cuál es este gasto mínimo? 6

8 Solución: Llamando x a los kg de P e y a los kg de Q, el programa lineal correspondiente al enunciado es: Minimizar la función objetivo: f(x, y) = 30x + 30y sujeta a las siguientes restricciones: x y 2 x 3y 3 20x 7,5y 30. El conjunto de soluciones factibles es el de los puntos del interior de 2x 2 x 0, y 0 la región convexa de vértices P, Q, R y S que queda sombreada en la figura 7. Las coordenadas de los vértices son: P(3, 0), Q(,5, 0,5), R(,2, 0,8) y S(,,33). Los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices son: f(3, 0) = 90, f(,5, 0,5) = 60, f(,2, 0,8) = 60 y f(,,33) = 69. Las coordenadas de cualquier punto del segmento de extremos Q y R es solución del problema, proporcionando un gasto mínimo de 60 pesetas. 2x =2 x + y = 2 4 x + 3 y = 3 2 S R Q, x + 7,5y = 30 P Figura 7 7

9 Resuelve tú. Los abonos A y B se obtienen mezclando cierto sustrato con dos fertilizantes F y F 2 en las siguientes proporciones: F F 2 A 00 g/kg 50 g/kg B 70 g/kg 80 g/kg La cantidad disponible de los fertilizantes F y F 2 son 39 kg y 24 kg. El beneficio que producen los abonos A y B son 75 céntimos/kg y 60 céntimos/kg. Cuántos kilos se deben fabricar del abono A y del abono B para maximizar el beneficio? Solución: 320 kg de abono del tipo A y 00 kg de abono del tipo B. 2. Para abonar una parcela de huerta se necesitan por los menos 8 kg de nitrógeno y 2 kg de fósforo. Se dispone de un producto A cuyo precio es de 30 céntimos/kg y que contiene un 0% de nitrógeno y un 30% de fósforo. Existe en el mercado otro producto B que contiene un 20% de nitrógeno y un 20% de fósforo, y cuyo precio es de 40 céntimos/kg. Qué cantidad se deben tomar de A y B para abonar la parcela con el menor gasto posible? Solución: 20 kg del producto A y 30 kg del producto B 3. Se desean obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, gramo del segundo y 3 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 6 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcular los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 200 pesetas y uno de B.000 pesetas. Puede eliminarse alguna restricción? Solución: deben emplearse,6 kgs de A y 0,8 kgs de B. 4. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 20 viajes. Entre los dos aviones deben hacer 60 o más vuelos, pero no más de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 2000 euros y 500 por cada viaje del B. Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? Solución: el consumo de combustible será mínimo si cada avión hace 30 viajes y el beneficio máximo se obtiene si el avión A hace 20 viajes y el B hace Se desea fabricar dos tipos de bombones que llamaremos A y B. Las cajas del tipo A contienen kg de chocolate y 2 kg de cacao; las del tipo B contienen 2 kg de chocolate, kg de cacao y kg de almendras. Disponemos de 500 kg de chocolate, 400 de cacao y 225 de almendras. Por cada caja del tipo A se ganan 2 euros y por cada caja del tipo B 3 euros. Cuántas cajas de cada tipo hay que fabricar para que la ganancia se máxima? Solución: hay que fabricar 00 cajas del tipo A y 200 del tipo B. 8

10 6. Un laboratorio fabrica los complejos vitamínicos REVIT y VITAL que se venden a 92 céntimos y 22 céntimos la caja, respectivamente. La siguiente tabla indica los contenidos en vitaminas A y B por caja de cada producto: A B REVIT 4 gramos 6 gramos VITAL 7 gramos 3 gramos El coste de gramo de vitamina A es de 5 céntimos y el coste de gramo de vitamina B es de 2 céntimos. Justificar que el beneficio obtenido al vender x cajas de REVIT e y cajas de VITAL es 00x + 50y. Se dispone de 38 gramos de vitamina A y 42 gramos de vitamina B. Cuántas cajas de REVIT y cuántas cajas de VITAL deben fabricarse para que beneficio 00x + 50y sea máximo? Solución: se deben fabricar 6 cajas de REVIT y 2 cajas de VITAL. 7. Disponemos de 2 millones de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 0% y las del tipo B que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 3 millones de euros en las del tipo A y como mínimo euros en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución: la inversión en acciones del tipo A ha de ser de 3 millones de euros y la inversión en acciones del tipo B de 8 millones de euros. 8. Un fabricante de aviones produce en dos fábricas tres tipos de aparatos: el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar semanalmente a un emirato árabe 2 aviones del tipo A, 8 del tipo B y 24 del tipo C. Al fabricante le cuesta 2 millones de pesetas diarias el funcionamiento de la primera fábrica y,6 millones de pesetas el de la segunda. La primera fábrica produce, en un día, 6 aviones del tipo A, 2 del tipo B y 4 del tipo C mientras que la segunda produce, respectivamente, 2, 2 y 2. Cuántos días por semana debe trabajar cada fábrica para, cumpliendo el contrato del emir, conseguir reducir al máximo los costos de funcionamiento de las fábricas? Solución: la primera fábrica debe trabajar un día y la segunda tres días. 9. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 50 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es de 00 euros y de uno de girasol de 50 euros, cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? Y para que el gasto sea máximo?. Solución: para que el gasto sea mínimo habrá que almacenar 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva. Para que el gasto sea máximo habrá que almacenar 20 bidones de aceite de girasol y 30 de aceite de oliva. 9

11 Tema 3. Programación Lineal Resuelve tú (II) ) Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones: x 2 ; x - 2 ; y (León. Junio 990) 2) Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos: O(0,0), A(0,4), B(4,0), C(3,3). (Madrid. Junio 995) 3) Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (,0) y (0,) pertenezcan a dicha región, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz una representación gráfica de la región que elijas. (León. Junio 993) 4) Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solución común el interior de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones) (Cantabria. Junio 99) 5) Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y - 0 ; 0 x 3 ; 0 y 2. Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? (Universidades de Galicia. Junio 996) 6) Maximizar la función F(x,y) = 3x + 2y en el dominio y + 2x 0 ; 3y - x ; 2 x 0; y 0 (Córdoba. Junio 995) 7) Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto. b) Maximizar la función Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto. (León. Junio 990) 8) Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y 8 ; x + y 4 ; x + 2y 6 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. (Universidades Andaluzas. Junio 996) 9) a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y 0 ; x + y 2 ;x 8; x 0; y 0 b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y) = x - 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior. (Zaragoza. 99) 0

12 Tema 3. Programación Lineal 0) Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = x + 2y - 2, sometida a las restricciones: x + y ; x - y + 2 0; x 3; y ; y 3 (Madrid. 990) ) Resolver gráficamente el siguiente problema de programación lineal: Maximizar Z = 0.75x + y Sujeto a : x + 3y 5 5x + y 20 3x + 4y 24 x 0 ; y 0 Es única la solución? (Alicante. Junio 990) 2) Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x - 4y - 4 ; x + 2y - 4 0; x 0 ; y 0 Se pide: a) Dibujarlo y hallar sus vértices. b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x,y)= x + 2y. c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza. (Jaén. Junio 995) 3) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 20, y otra para los impresos B, en la que caben 00. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 50 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (Cataluña. Junio 996). 4) En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 996) 5) Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 20 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana ptas. y por cada viaje del B. Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 99)

13 Tema 3. Programación Lineal 6) Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? (Universidades de Castilla- La Mancha. Junio 996) 7) Un pastelero tiene 50 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27 5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, kg de azúcar y de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0 5 kg de azúcar y kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades de Castilla y León. Septiembre 997) 8) Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 50 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 000 unidades a los de la A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 000 unidades por día. Hallar el coste máximo y mínimo de la producción diaria. (La Laguna. 992) 9) Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a pesetas y el modelo Viz a pesetas, qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual? (Universidades de Galicia. Junio 997). 20) Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, ptas. en salarios y ptas. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cada unidad de B. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: A B Coste salarial Coste energético Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. (Universidades Andaluzas. Septiembre 997). 2

14 Tema 3. Programación Lineal 2) Una persona tiene pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 0% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo pesetas en A y como mínimo pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cómo deberá invertir sus pesetas para maximizar sus intereses anuales? (Universidad de Castilla y León. Junio 996). 22) Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 8 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas. (Universidades Andaluzas. Junio 996) 23) Un hipermercado necesita como mínimo 6 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta ptas., mientras que los del mayorista B cuestan pesetas cada uno. Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? (Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 997) 24) Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 2, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas Hidratos Grasas Coste(kg) Producto A Producto B Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? (Universidad de La Laguna. Junio 997). 25) Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca K P N Precio A B En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? (Valencia. 993) 3

15 Tema 3. Programación Lineal 26) Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 4 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla: R S T P 3 Q 2 Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo. (Extremadura. 993) 27) Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 0 toneladas de fruta diarias y el B de 5 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Almacén Mercado Mercado 2 Mercado 3 A B Planificar el transporte para que el coste sea mínimo. (Salamanca. Junio 992). 28) Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es ptas. por electricista y por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? (Universidad de Murcia. Junio 998) 29) Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 5% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 5% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 50 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. (Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 996) 4

16 Tema 3. Programación Lineal 30) Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 0 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeños, 6000 ptas. Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? (País Vasco. Junio 990) 3) La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 000 kg. La fabricación de un kg de A cuesta 80 ptas., y uno de B, 50. Calcule cuántos kg de A y B deben fabricarse, sabendo que la casa dispone de ptas/día y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B. (Las Palmas de Gran Canaria. Junio 99.) 32) A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar más de 50 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 00 g de A Si 00g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 00 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 50 calorías: a) Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? b) Y el más pobre en calorías? (País Vasco. 992) 33) Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, gramo del segundo y 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 6 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 200 ptas. y uno de B 000 ptas. Puede eliminarse alguna restricción? (Zaragoza. Junio 990) 34) Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 0 kg, y si sólo se produce B, se producen 5 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio.(universidad de Cantabria. Junio 997). 35) Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas? (Universidad de Murcia. Septiembre 996) 5

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